ВсОШ 2023, 11 класс, задача 9

Средняя
Алгебра
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2023, 11 класс, Второй тур

( баллов) Даны ненулевые числа , , . Докажите, что выполняется неравенство

(А. Кузнецов)

Ответ

Решение. Положим . Теперь заметим, что

Если , то два из этих слагаемых равны , и тем самым сумма не меньше, чем . В противном случае числа , , отличны от нуля. Значит, какие-то два из них одного знака, а тогда их произведение положительно, и соответствующее слагаемое больше . Поскольку два других слагаемых неотрицательные, то общая сумма больше .

1

Доказано нестрогое неравенство вместо строгого.

-1
2

Не разобран случай .

-1
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2024, 9 класс, задача 6

(7 баллов) На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске. (И. Богданов)
Средняя
Алгебра

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 7

(7 баллов) График G1 квадратного трёхчлена y=px2+qx+r с вещественными коэффициентами пересекает график G2 квадратного трёхчлена y=x2 в точках A и B. Касательные в точках A и B к графику G2 пересекаются в точке C. Оказалось, что точка C лежит на
Средняя
Алгебра

ВСОШ 2024, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Пусть x122024 — возрастающая последовательность натуральных чисел. При i=1,2,ldots,2024 обозначим pi=(x1-dfrac1{x1})(x2-dfrac1{x2})ldots(xi-dfrac1{xi}). Какое наибольшее количество натураль
Средняя
Алгебра

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 4

Пусть P(x)=anxn+an-1xn-1+ldots+a1x+a0, где n — натуральное число. Известно, что числа a0,a1,ldots,an — целые, при этом anne0, an-k=ak при всех k=0,1,ldots,n, и an<
Средняя
Алгебра