ВсОШ 2023, региональный этап, 11 класс, задача 9

( баллов) Даны ненулевые числа , , . Докажите, что выполняется неравенство

(А. Кузнецов)

Ответ

Решение. Положим . Теперь заметим, что

Если , то два из этих слагаемых равны , и тем самым сумма не меньше, чем . В противном случае числа , , отличны от нуля. Значит, какие-то два из них одного знака, а тогда их произведение положительно, и соответствующее слагаемое больше . Поскольку два других слагаемых неотрицательные, то общая сумма больше .

Доказано нестрогое неравенство вместо строгого.

-1

Не разобран случай .

-1

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2022, региональный этап, 10 класс, задача 4

Пусть P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ldots+a₁x+a₀, где n — натуральное число. Известно, что числа a₀,a₁,ldots,a_n — целые, при этом a_nne0, a_n-k=a_k при всех k=0,1,ldots,n, и a_n

Средняя

Алгебра

ВСОШ 2024, региональный этап, 9 класс, задача 6

(7 баллов) На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске. (И. Богданов)

Средняя

Алгебра

ВсОШ 2023, региональный этап, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Даны различные вещественные числа a₁,a₂,a₃ и b. Оказалось, что уравнение (x-a₁)(x-a₂)(x-a₃)=b имеет три различных вещественных корня c₁,c₂,c₃. Найдите корни уравнения (x+c₁)(x+c

Средняя

Алгебра

ВСОШ 2024, региональный этап, 11 класс, задача 7

(7 баллов) График G₁ квадратного трёхчлена y=px²+qx+r с вещественными коэффициентами пересекает график G₂ квадратного трёхчлена y=x² в точках A и B. Касательные в точках A и B к графику G₂ пересекаются в точке C. Оказалось, что точка C лежит на

Средняя

Алгебра