ВсОШ 2023, региональный этап, 9 класс, задача 5
( баллов) Четырёхугольник вписан в окружность . Оказалось, что окружности, построенные на отрезках и как на диаметрах, касаются друг друга внешним образом в точке . Пусть точки и — середины отрезков и соответственно. Докажите, что перпендикуляр к прямой , восставленный в точке , пересекает прямую в точке, лежащей на .
(И. Почепцов, Д. Бродский)
Ответ
Решение. Обозначим окружности с диаметрами и через и соответственно. Заметим, что точка лежит на отрезке .
Пусть прямые и пересекают в точках и соответственно (см. рис. ). Поскольку — диаметр , имеем . В прямоугольном треугольнике отрезок — высота, поэтому . С другой стороны, поскольку , имеем . Итак, , то есть точки , , и лежат на одной окружности .
Пусть теперь прямая пересекает окружности и в точках и соответственно (точка лежит на отрезках и ). Тогда , поскольку — центр окружности . С другой стороны, ; последнее равенство опять же вытекает из того, что — высота в прямоугольном треугольнике . Значит, , то есть . Но точка отлична от и , так как не лежит на ; значит, окружности и имеют три общих точки , , , то есть они совпадают. Поэтому лежит на , что и требовалось доказать.
Замечание 1. Решение можно было бы завершить многими разными способами. Например, равенства означают, что точки , , и лежат на одной окружности . Тогда либо окружности , и совпадают, либо это три разных окружности. Во втором случае радикальные оси этих трёх окружностей должны пересекаться в одной точке или быть параллельными; но эти радикальные оси — это прямые , и , и для них эти утверждения неверны.
Рассуждение выше имеет недостаток: оно не проходит в случае, когда точки , , и лежат на одной прямой. Этот случай легко разобрать отдельно (тогда проходит через центр окружности , и ).
Замечание 2. Существуют и другие решения, идейно схожие с приведённым выше. Например, можно рассуждать так.
Пусть лучи и пересекают повторно в точках и (см. рис. ). Пусть . Тогда , откуда . Тогда — высота в прямоугольном треугольнике, и . С другой стороны, если прямая пересекает в точках и , то . Однако, как нетрудно проверить, на отрезке есть только две точки такие, что , и это точки и . Значит, , что и требовалось доказать.