ВСОШ 2026, 10 класс, задача 3

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2026, 10 класс, Первый тур

( баллов) Периметр выпуклого пятиугольника равен . Пусть , , , , — центры описанных окружностей треугольников , , , , соответственно. Пусть , , , , — середины отрезков , , , , соответственно. Докажите, что

Ответ

Решение. Достаточно доказать, что . Действительно, тогда, сложив это неравенство и четыре аналогичных (для сторон , , , ), получим (с учетом ) требуемое неравенство.

Чертёж к решению задачи 10.3

Заметим, что лежит на серединном перпендикуляре к отрезку , иначе говоря, проекция точки на прямую совпадает с серединой отрезка . Тогда проекция точки на прямую совпадает с серединой отрезка . Аналогично, проекция точки на прямую совпадает с серединой отрезка . Так как длина отрезка не меньше длины его проекции, имеем

Это мы и хотели установить.

1

(A) Заявлено, но не доказано или доказано неверно, что (или аналогичное неравенство).

3
2

(B) Правильно описана проекция точки на .

2
3

Баллы за продвижения (A) и (B) суммируются.

—
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 5

(7 баллов) В треугольнике ABC с углом 100circ при вершине A медианы BK и CN пересекаются в точке M. Прямая, проходящая через точку M и параллельная BC, пересекает описанную окружность треугольника AKN в точках Q и P. Найдите сумму углов BQC и BPC. (К. Бельский)
Очень сложная
Планиметрия

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 2

(7 баллов) Две равные окружности ω1 и ω2 проходят через точку A. На окружности ω1 отмечена точка B так, что прямая AB касается окружности ω2. На окружности ω2 отмечена точка C так, что прямая AC касается окружности ω1. Прямая, проходя
Очень сложная
Планиметрия

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, в котором angle BAC=60circ. Точки D и E симметричны его центру описанной окружности O относительно сторон AB и AC соответственно. Прямая DE пересекает отрезки AB и AC в точках F и G соответственно. Докажите, что описанные окру
Очень сложная
Планиметрия

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 8

(7 баллов) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Биссектрисы его углов A и C пересекаются в точке E, а биссектрисы углов B и D — в точке F, причём точки O, E и F лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников ACE и BDF пересекаются в точках P и Q. Докажите,
Очень сложная
Планиметрия