ВСОШ 2026, 11 класс, задача 2
( баллов) Две равные окружности и проходят через точку . На окружности отмечена точка так, что прямая касается окружности . На окружности отмечена точка так, что прямая касается окружности . Прямая, проходящая через точку , повторно пересекает окружность в точке и окружность в точке . Докажите, что один из отрезков , и равен сумме двух других.
Ответ
Решение. Поскольку окружности равны, то при симметрии, переводящей одну из них в другую, касательная переходит в касательную . Отсюда следует, что .
Предположим, что точка лежит на отрезке , то есть прямая не проходит внутри угла . Поскольку прямая касается , то . Поскольку прямая касается , то . Таким образом, треугольники и равны, поэтому и . В этом случае .
Теперь разберем оставшийся случай. Пусть точка лежит на отрезке . Снова, используя касание, получаем равенства углов и , откуда также равны треугольники и . На этот раз , поэтому , что и требовалось. Случай, когда точка лежит на отрезке , разбирается аналогично.
(A) Разобран случай, когда точка лежит на отрезке .
(B) Разобран случай, когда точка лежит на продолжении отрезка .
(C) Разобран один из случаев, сказано о существовании второго случая. При этом никак не указывается, что некоторые равенства будут выглядеть по-другому.
Продвижение (C) суммируется с баллами за разобранный случай (A) или (B).