ВСОШ 2026, 10 класс, задача 9
( баллов) Дан остроугольный неравнобедренный треугольник , в котором . Точки и симметричны его центру описанной окружности относительно сторон и соответственно. Прямая пересекает отрезки и в точках и соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников и касаются.
Ответ
Решение. Пусть и — середины и . Тогда — средняя линия в треугольнике , поэтому и . Значит, — параллелограмм.
Далее, . Тем самым дуги и равны по величине и построены на противоположных сторонах параллелограмма внутрь него. Следовательно, эти дуги симметричны относительно центра параллелограмма .
Значит, дуга проходит через точку , симметричную точке относительно . Аналогично, лежит на окружности .
Остается доказать касание окружностей. Для этого достаточно установить равенство
(тогда касательная , проведенная к в точке , будет составлять с угол, равный , а значит, будет являться и касательной к ).
Используя симметрию относительно и относительно прямых и , получаем , а также
и аналогично . Видим, что
Тем самым доказательство завершено.
Замечание. Можно решить задачу, используя другие описания точки касания. Например, определим как вторую точку пересечения окружностей и . Тогда из счета углов (с использованием вписанных четырехугольников) можно получить , значит окружности и симметричны относительно , т.е. окружность совпадает с нашей окружностью . Аналогично совпадает с окружностью .
Далее , а
Получили равенство , которое доказывает касание наших окружностей и .
Также можно доказать, что наша точка касания на самом деле является ортоцентром треугольника .
(A) Найдено и обосновано одно из перечисленных в решении и замечании описаний общей точки окружностей и , но касание не доказано.