ВСОШ 2025, 9 класс, задача 7
( баллов) Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написал на доске несколько целых чисел. Докажите, что дети могут дописать к имеющимся ещё ровно одно целое число так, чтобы полученный набор оказался удачным.
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение. Пусть сумма всех чисел, выписанных учителем, равна ; тогда детям достаточно дописать число . Действительно, после этого сумма всех чисел окажется равной нулю, а значит, при разбиении их на две группы суммы в группах будут противоположными друг другу, то есть их произведение будет неположительным.
Замечание. Вместо числа дети могут дописать или .
Указано, что надо дописать такое число, что сумма всех чисел на доске станет равной нулю.