ВСОШ 2025, 11 класс, задача 2

Очень сложная
Неравенства
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2025, 11 класс, Первый тур

( баллов) Вещественные числа , , таковы, что , , . Докажите, что каждое из чисел , , меньше .

(Н. Агаханов)

Ответ

Первое решение. Сложим первые два неравенства. Преобразуя, получаем неравенство:

Следовательно, . Тогда , аналогично для других двух переменных.

Второе решение. Не умаляя общности, предположим, что . Тогда . Добавив к обеим частям неравенства , имеем: , откуда наибольшее из чисел . Значит, и все числа меньше .

Третье решение. Из условия следует, что , аналогично . Также по неравенству о средних. Значит, , аналогично и . Не умаляя общности можно считать, что — минимальное из чисел , тогда , откуда , аналогично , а тогда и .

1

Верное решение.

7
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 10

(7 баллов) Пусть a, b, c — положительные числа, причём a+b+c=3. Докажите, что (a/b4+2b) +(b/c4+2c) +(c/a4+2a) ge 1.
Очень сложная
Алгебра
Неравенства

ВСОШ 2025, 10 класс, задача 3

(7 баллов) Положительные числа a, b, c таковы, что a2b+b2c+c2a=2 и ab2+bc2+ca2=4. Докажите, что из чисел a, b, c какие-то два отличаются более чем на 2. (А. Кузнецов)
Очень сложная
Неравенства

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a-1)(b-1)(c-1) делится на n2?
Очень сложная
Теория чисел

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Две бесконечные последовательности a1,a2,ldots и b1,b2,ldots натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных m и k число am-bk делится на m-k. Обязательно ли an=bn при всех натуральных n?
Очень сложная
Теория чисел