ВСОШ 2025, 10 класс, задача 3
( баллов) Положительные числа , , таковы, что и . Докажите, что из чисел , , какие-то два отличаются более чем на .
(А. Кузнецов)
Ответ
Решение. Вычтем из второго равенства первое и разложим левую часть на множители, получим:
Не умаляя общности (в условии имеется циклическая симметрия переменных , , ), будем считать, что — наибольшее из данных чисел. Тогда , но из видим, что . Значит, . Аналогично . Тогда из следует . Получается .
Обозначим , , , так что , , ; тогда принимает вид . Нам нужно доказать, что .
Заметим, что , так как это неравенство преобразуется к виду (или следует из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом). Отсюда и далее
Получаем , откуда и поэтому .
Остаётся показать, что невозможно. Если , то , и тогда в предыдущем рассуждении мы получим строгое неравенство . Значит, возможно лишь при . Рассмотрим этот случай отдельно.
В этом случае , и . Тогда
что противоречит первому равенству из условия задачи.
При верном решении доказано только нестрогое неравенство (то есть не рассмотрен или неверно рассмотрен случай обращения в равенство).
Получено равенство . Если просто сделано вычитание, но нет разложения на множители, баллы не начисляются.