ВСОШ 2025, региональный этап, 11 класс, задача 8

( баллов) В пространстве даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые и . Точки и — середины отрезков и соответственно. Докажите, что .

(А. Кузнецов)

Ответ

Решение. Обозначим через и середины отрезков и (см. рис. ).

Рис. 5

Тогда — средняя линия в треугольнике , а — в треугольнике . Следовательно, . Аналогично . Таким образом, точки лежат в одной плоскости, причем из условия следует, что — прямоугольник. Значит, равны его диагонали и . Заметим, что

по неравенству ломаной, остаётся вычесть из обеих частей.

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, региональный этап, 11 класс, задача 5

(7 баллов) Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти рёбра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных рёбер. Сколько вершин может быть в таком многограннике?

Очень сложная

Стереометрия

Комбинаторика

ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 7

(7 баллов) На координатной плоскости проведена прямая ax+by+c=0, где a, b, c — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности x²+y²=1. Докажите, что если взять три отрезка с длинами a, b, c, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.

Очень сложная

Планиметрия

ВСОШ 2026, региональный этап, 11 класс, задача 8

(7 баллов) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Биссектрисы его углов A и C пересекаются в точке E, а биссектрисы углов B и D — в точке F, причём точки O, E и F лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников ACE и BDF пересекаются в точках P и Q. Докажите,

Очень сложная

Планиметрия

ВСОШ 2026, региональный этап, 10 класс, задача 9

(7 баллов) Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, в котором angle BAC=60^circ. Точки D и E симметричны его центру описанной окружности O относительно сторон AB и AC соответственно. Прямая DE пересекает отрезки AB и AC в точках F и G соответственно. Докажите, что описанные окру

Очень сложная

Планиметрия