ВСОШ 2025, 11 класс, задача 8

Очень сложная
Стереометрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Региональный (9–11 классы), 2025, 11 класс, Второй тур

( баллов) В пространстве даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые и . Точки и — середины отрезков и соответственно. Докажите, что .

(А. Кузнецов)

Ответ

Решение. Обозначим через и середины отрезков и (см. рис. ).

Рис. 5

Тогда — средняя линия в треугольнике , а — в треугольнике . Следовательно, . Аналогично . Таким образом, точки лежат в одной плоскости, причем из условия следует, что — прямоугольник. Значит, равны его диагонали и . Заметим, что

по неравенству ломаной, остаётся вычесть из обеих частей.

1

Верное решение.

7
Максимум: 7

Похожие задачи

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 5

(7 баллов) Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти рёбра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных рёбер. Сколько вершин может быть в таком многограннике?
Очень сложная
Стереометрия
Комбинаторика

ВСОШ 2025, 11 класс, задача 5

(7 баллов) В треугольнике ABC с углом 100circ при вершине A медианы BK и CN пересекаются в точке M. Прямая, проходящая через точку M и параллельная BC, пересекает описанную окружность треугольника AKN в точках Q и P. Найдите сумму углов BQC и BPC. (К. Бельский)
Очень сложная
Планиметрия

ВСОШ 2026, 10 класс, задача 7

(7 баллов) На координатной плоскости проведена прямая ax+by+c=0, где a, b, c — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности x2+y2=1. Докажите, что если взять три отрезка с длинами a, b, c, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.
Очень сложная
Планиметрия

ВСОШ 2026, 11 класс, задача 8

(7 баллов) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Биссектрисы его углов A и C пересекаются в точке E, а биссектрисы углов B и D — в точке F, причём точки O, E и F лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников ACE и BDF пересекаются в точках P и Q. Докажите,
Очень сложная
Планиметрия