ВсОШ 2026, 11 класс, задача 3

Очень сложная
Комбинаторика
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2026, 11 класс

( баллов) Петя случайно выбирает натуральное число от до (вероятность выбрать каждое равна ). Затем Петя случайно выбирает натуральное число от до (вероятность выбрать каждое равна ). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью будет равен .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что если лежит в этой арифметической прогрессии, то существует такое целое неотрицательное , что , то есть числа и дают одинаковый остаток при делении на . Разберем все возможные варианты числа , и посмотрим, сколько возможных чисел будут нам подходить.

  • Если , то будут подходить все чисел.
  • Если , то будут подходит только нечетные числа от до , которых штук.
  • Если , то будут подходит только числа от до , имеющие остаток при делении на , которых штуки.
  • Если , то будут подходит только числа от до , имеющие остаток при делении на , которых штук.
  • Если , то будут подходит только числа от до , имеющие остаток при делении на , которых штук.

Искомая вероятность будет равна

1

Верное решение.

7
Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 6

(7 баллов) При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 10 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть a — процент учеников, знающих ровно два языка программирования. (а) (3 балла) Чему равно наибольшее возможное значение a
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 9

(4 баллов) Новая шахматная фигура гусь может ходить либо на одну клетку влево, либо на две клетки вправо и одну вверх, либо на две клетки вверх и одну вправо. Возможные ходы гуся, стоящего в клетке Г, отмечены на рисунке крестиками. Гусь бьёт так же, как и ходит. Возможные ходы гуся Несколько гусей
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 8

(7 баллов) Петя и Вася играют в следующую игру. На доске 5 × 5 в каждой клетке лежит по n конфет. Петя и Вася по очереди, начиная с Пети, выбирают непустую клетку и съедают из неё несколько конфет. При этом из угловых клеток разрешается съедать не более двух конфет, из клеток, имеющих 3 соседа по ст
Очень сложная
Комбинаторика