Всесиб 2025, отборочный этап, 7 класс, задача 5
( баллов) Несколько человек сыграли турнир в шахматы. Каждый сыграл с каждым ровно один раз, и за каждую победу участники получали очко, за ничью — , за проигрыш — . Назовём участника этого турнира грибным, если он проиграл всем, кто в итоге набрал очков меньше него, но выиграл у всех, кто набрал больше. Докажите, что все грибные участники этого турнира набрали поровну очков.
Ответ
Решение. Предположим, это не так, и нашлись грибные участники и такие, что набрал очков, набрал очков и .
Из условия следует, что проиграл , и тогда должен найтись такой участник , набравший очков, что с ним сыграл строго лучше, чем с ним сыграл (иначе за весь турнир никак не наберёт очков больше, чем у ). В частности, в обоих матчах и не могла быть ничья, так что выиграл у или выиграл у .
Если выиграл у , то, так как грибной, имеем , то есть , откуда, так как тоже грибной, выиграл у . Это противоречит тому, что сыграл с и по-разному.
Если выиграл у , то , откуда , и в силу грибности получаем, что победил , откуда тоже следует противоречие.