Всесиб 2024, отборочный этап, 8 класс, задача 5
( баллов) У театрального режиссёра есть несколько сценариев: комедии и трагедий. Каждый сезон он случайным образом раскладывает сценарии по непустым стопкам (не обязательно поровну), после чего выбирает одну из них, и ставит все спектакли из этой стопки в некотором порядке, который выбирает сам. Режиссёр считает прошедший сезон удачным, если ему не пришлось ставить две комедии подряд. На какое наименьшее число стопок нужно делить режиссёру все свои сценарии, чтобы хотя бы из одной из них можно бы было сделать удачный сезон?
Ответ
Решение. Пусть в какой-то стопке оказалось комедий и трагедий. Чтобы сезон, поставленный по этой стопке, оказался удачным, необходимо и достаточно, чтобы можно было любые две комедии разделить хотя бы одной трагедией, то есть . Соответственно, если стопка неудачная, то . Если же все стопки неудачные, то, складывая все такие неравенства, получим , откуда . Значит, если , то все стопки одновременно неудачными быть не могут.
Осталось показать, что стопок режиссёру не хватит. Действительно, разделим сценарии следующим образом: стопка по комедии и одна стопка из трагедий и оставшихся комедий. Все стопки окажутся неудачными.