Всесиб 2025, отборочный этап, 9 класс, задача 5
( баллов) В каждой клетке доски на записано некоторое действительное число, по модулю не превосходящее . Известно, что сумма чисел в любых четырёх клетках, образующих квадрат на , равна нулю. Доказать, что сумма чисел, записанных во всех клетках доски, не превосходит по модулю . Достигается ли эта граница?
Ответ
Доказательство. Занумеруем горизонтали доски снизу вверх числами от до , и вертикали доски слева направо числами от до . Отметим на доске квадратов размера на клетки, расположенных следующим образом. Шесть из них лежат «ниже главной диагонали»: три лежат на пересечении пары горизонталей с парами вертикалей ; ; , ещё два — на пересечении пары горизонталей с парами вертикалей ; , и ещё один — на пересечении пары горизонталей с парой вертикалей . Остальные шесть расположены симметрично первым шести относительно главной диагонали доски, идущей из левого нижнего её угла в правый верхний. А именно, три лежат на пересечении пары вертикалей с парами горизонталей ; ; , ещё два — на пересечении пары вертикалей с парами горизонталей ; , и ещё один — на пересечении пары вертикалей с парой горизонталей .
Заметим, что три клетки главной диагонали с координатами , , покрыты этими квадратами дважды, а остальные четыре клетки главной диагонали с координатами ими не покрыты. Остальные клетки доски покрыты этими квадратами по одному разу.
Теперь вычтем из общей суммы всех чисел доски сумму всех чисел в этих квадратах, после чего она, с одной стороны, не изменится (сумма всех чисел в этих квадратах равна, по условию, нулю). А с другой стороны, она станет равной сумме чисел в клетках , , , минус сумма чисел в клетках , , , числа в остальных клетках доски обнулятся. Каждое из этих семи чисел по модулю не превосходит , поэтому сумма их со знаками «» и «» не превосходит по модулю .
Пример, когда сумма всех чисел на доске равна : во всех клетках горизонталей с нечётными номерами стоят , а во всех клетках горизонталей с чётными номерами стоят .
Это делается аналогично доказательству выше рассмотрением квадратов на , составляющих все клетки квадрата на , лежащие на пересечении всех горизонталей доски, кроме первой, со всеми вертикалями доски, кроме первой.