Всесиб 2026, отборочный этап, 7–8 классы, задачи 7.4 и 8.3
( баллов) За круглый стол переговоров сели гномы и эльфы: суммарно участник, причём все разного возраста. Известно, что эльфы всегда лгут, а гномы всегда говорят правду. Каждому из участников переговоров был задан вопрос «У тебя есть сосед-эльф младше тебя?», на который все ответили «Да». После этого переговорщики пошли на перерыв, а вернувшись, сели за за стол в случайном порядке. На этот раз каждому из участников был задан вопрос «У тебя есть сосед-гном младше тебя?». Докажите, что хотя бы двое ответили «Да».
Ответ
Решение. Рассмотрим самого молодого участника. На первый вопрос он соврал, откуда является эльфом. Тогда он соврёт и во второй раз, сказав «Да».
Посмотрим теперь на начальную рассадку. В ней не могло находиться двух эльфов подряд, так как старший из них в таком случае сказал бы правду. Следовательно, по кругу идут группы гномов, соседние из которых разделены ровно одним эльфом. Заметим, что хотя бы в одной группе хотя бы два гнома (на самом деле, ровно два, так как они говорят правду), ведь иначе гномов и эльфов было бы поровну, то есть чётное количество суммарно. Из этого следует, что гномов за столом больше, чем эльфов.
Теперь рассмотрим конечную рассадку. Если бы в ней все гномы сидели по одному, то из аналогичных рассуждений следовало бы, что эльфов больше, чем гномов, что не так. Значит, найдётся два гнома, сидящих рядом. Старший из них ответит «Да» на второй вопрос, а значит, утверждение доказано.