Всесиб 2023, отборочный этап, 9 класс, задача 5

Ответ. Нет, не может.

Решение. Пусть — один из членов этой компании, у него друзей. У каждого члена компании, кроме , есть два общих друга, являющимися двумя из пяти друзей . Допустим, что пары общих друзей у и , а также у и совпадают, обозначим их за и . Тогда у и не меньше трёх общих друзей, среди которых как минимум , и , что противоречит условию. Следовательно, всего в компании, кроме , людей не может быть больше, чем количество различных пар среди пяти друзей , то есть не больше десяти. С другой стороны, для каждой такой пары и у них есть ровно два общих друга, один из которых , а другой , отличный от . По условию этот для разных пар и тоже разный. Значит, всего в компании, кроме , людей не может быть меньше, чем количество различных пар среди пяти друзей , то есть не меньше десяти. Следовательно, всего в компании человек. Тогда общее число дружб в компании равно — число нецелое. Полученное противоречие доказывает, что приведённая в условии ситуация невозможна.