Всесиб 2023, отборочный этап, 11 класс, задача 5
( баллов) В одной из вершин куба сидят бабочек, остальные семь вершин пусты. Каждую минуту с одной из вершин куба по одной бабочке перелетают в каждую из трёх соседних с данной по ребру вершин куба, одна — в противоположную (относительно центра) его вершину, и ещё одна — улетает вдаль и больше не возвращается. Найти все значения , при которых через некоторое время в каждой вершине куба может оказаться одинаковое число бабочек.
Ответ
Ответ. Любое , делящееся на .
Решение.
1. Покажем, что при любом , , ситуация, когда через некоторое время в каждой вершине может оказаться одинаковое число бабочек, возможна. Занумеруем вершины куба, сначала вершины нижнего основания по часовой стрелке от до , затем вершины верхнего основания по часовой стрелке от до , так что пятая вершина расположена над первой, шестая над второй и т.д., а все бабочки сначала сидят на первой. Пусть за первые минут бабочки перелетают только с первой вершины, после чего на вершинах окажутся по бабочек, а остальные вершины будут пусты. За следующие минут с каждой из вершин вылетают по бабочек, после чего уже на каждой вершине куба окажутся по бабочек, что и требовалось в условии.
2. Покажем, что, если через некоторое время в каждой вершине куба может оказаться одинаковое число бабочек, то делится на , то есть на и . Назовём вершины куба синими, а вершины — красными. Далее за обозначаем суммарное количество бабочек, сидящих в данный момент в синих вершинах, а за — суммарное количество бабочек, сидящих в красных вершинах, сначала , . Заметим, что каждую минуту из одной из вершин куба перелетает по одной бабочке в каждую из четырёх вершин противоположного цвета, а одна улетает прочь. Всего при этом одно из чисел и уменьшается на , а второе — увеличивается на , следовательно, разность каждую минуту изменяется на в большую или меньшую сторону. В начале процесса , а в конце, когда на каждой вершине усядутся одинаковые количества бабочек и станет равным , разность . Следовательно, делится на .
Теперь рассмотрим разность количества бабочек на вершинах и . При перелётах бабочек с красных вершин на каждой из вершин и добавляется по одной бабочке, поэтому не меняется. При перелётах бабочек с синих вершин либо ровно одно из количеств бабочек в вершинах и уменьшается на , либо оба остаются неизменными. В этом случае каждую минуту изменяется на в большую или меньшую сторону. Сначала тоже равна , а в конце нулю, поэтому должно делиться на .
Итак, доказано, что делится на и , то есть делится на .