Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 9

За круглый стол сели мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?

Ответ

Ответ. .

Решение. Рассмотрим мудреца в красном колпаке. Либо среди двух сидящих справа от него, либо среди двух сидящих слева от него есть мудрец в красном колпаке. Значит, есть трое сидящих подряд мудрецов, среди которых найдутся по крайней мере двое в красном колпаке. Разобьём остальных на пятёрок подряд сидящих. Тогда мудрецов в красных колпаках не меньше . Для примера занумеруем мудрецов по кругу и дадим красные колпаки , , , , , , -му.

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

За круглым столом сидят 15 волшебников. У каждого из них по одной волшебной палочке. Волшебники договорились, что некоторые из них будут говорить только правду, а другие — неправду. Каждый из них отдал свою волшебную палочку одному из двух своих соседей. После этого 5 волшебников сказали: «Теперь у

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 9

Дано множество чисел M={2024,2025,ldots,2031}. Для каждого непустого подмножества множества M (включая само множество M) вычислили сумму чисел, входящих в это подмножество, а затем все эти суммы сложили, получив число S. На какое двузначное число заканчивается S?

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10

Каждый из 11 учеников записал к себе в тетрадь какие-то натуральные числа, не превосходящие N. Оказалось, что если взять любых 6 учеников, то в их тетрадях можно найти любое натуральное число, не превосходящее N, а если взять любых 5 учеников — нет (то есть найдётся число, которого нет ни в одной те

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 10

Фокусник попросил 60 зрителей загадать различные числа, каждого — одно число. За один вопрос фокусник может выбрать любых трёх зрителей и спросить, какие числа они загадали. В ответ ему скажут множество из трёх чисел. За какое наименьшее количество вопросов фокусник может указать, какие числа загада

Сложная

Комбинаторика