Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 9
В лесничестве организовали три пункта , , подкорма птиц на время зимних холодов. В силу особенностей их расположения в пункт прилетает больше всего птиц, а в пункт — меньше всего. Ежедневно на эти три пункта в сумме выделяется килограммов корма, который распределяется пропорционально количеству птиц, прилетевших в данный пункт накануне. Известно, что:
- января количества птиц, прилетевших в три пункта, составили геометрическую прогрессию;
- января в каждый из пунктов прилетело на птиц больше, чем января;
- января в пункт прилетело ровно в раза меньше птиц, чем в пункт ;
- января в пункт выделили на кг меньше корма, чем января;
- января в пункт выделили на кг больше корма, чем января.
Найдите . Ответ укажите в килограммах.
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть количества птиц, прилетевших января в пункты , , , составили соответственно , , . Значит, января корм между пунктами , , был распределён в отношении . Исходя из второго условия получаем, что января в пункты , , прилетело соответственно , , птиц. Согласно третьему условию отсюда , откуда . Подставляя это значение в формулы для количества птиц во второй день и преобразуя, получаем
Это означает, что января корм должен быть распределён в отношении . Используя четвёртое и пятое условия задачи, имеем систему уравнений
Разделив первое уравнение на второе, получаем уравнение с одной переменной , из которого после упрощения выходит
Так как , получаем единственное возможное значение . Подставляя его в любое из уравнений системы, находим, что .