Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 7
Пункт расположен на прямолинейной дороге между пунктами и , причём . Первоначально Тигра и Пятачок находятся в пункте , Винни-Пух — в пункте , а Кролик — в пункте . Они одновременно начинают движение, при этом Тигра и Пятачок идут из в , Винни-Пух — из в , а Кролик — из в . Наблюдая за передвижением своих друзей, Кристофер Робин заметил, что
- Пятачок и Винни-Пух встретились у домика Совы;
- Кролик и Тигра встретились у домика Совы;
- Тигра и Винни-Пух встретились у дупла с мёдом;
- Пятачок и Кролик встретились у дупла с мёдом;
- скорости Пятачка и Тигры различны.
Найдите отношение скорости Кролика к скорости Винни-Пуха. (Все движутся с постоянными скоростями; домик Совы и дупло с мёдом расположены в различных точках дороги между и .)
Ответ
Ответ. .
Решение. Зададим на прямой координаты так, чтобы пункт был расположен в начале координат, — в точке , а — в точке с координатой . Пусть , , и — числа, обратные скоростям Пятачка, Винни-Пуха, Кролика и Тигры соответственно. Тогда законы изменения координаты Пятачка и Тигры в зависимости от времени имеют вид и соответственно, а Винни-Пуха и Кролика, соответственно, и . Поскольку у домика Совы (координата ) встретились как Пятачок и Винни-Пух, так и Кролик и Тигра,
Отсюда . Аналогично, поскольку встречи Тигры и Винни-Пуха, а также Пятачка и Кролика произошли у дупла с мёдом (координата ),
Из этой системы . Из полученных выше соотношений
следует, что . Перемножая и приводя подобные слагаемые, имеем:
По условию скорости Пятачка и Тигры различны, поэтому . Но тогда соотношения принимают вид , а это значит, что отношение скорости Кролика к скорости Винни-Пуха равно .