Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 9
Города и расположены на реке, причём — выше по течению, а между ними находится пристань . В катамаран и лодка находились в городе , плот — у пристани , а катер — в городе . Они одновременно начали движение: катер — вверх по течению, а катамаран, лодка и плот — вниз по течению. Известно, что лодка и плот встретились в том же самом месте, где катамаран встретился с катером. Кроме того, катамаран и плот встретились в том же самом месте, где встретились лодка и катер. Все движутся с постоянными скоростями, скорость катера в раз больше скорости плота (то есть одно и то же расстояние катер проходит в раз быстрее, чем плот), а места встречи плота с лодкой и с катамараном различны. Найдите отношение расстояния к расстоянию .
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть , , и — скорости лодки, плота, катамарана и катера соответственно, а
Обозначим также через и расстояния от города до пристани и города соответственно. Законы движения данных судов можно записать в виде
Воспользовавшись совпадением координат мест встречи лодки и плота, а также катамарана и катера, получим соотношение
Аналогично, из того, что катамаран и плот встретились в той же точке, что лодка и катер, получаем, что
Итак,
Приравнивая дроби в левой и правой частях, перемножая и приводя подобные слагаемые, получаем, что . Тогда, используя оставшееся равенство, находим
Ясно, что
откуда .