Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 8

Окружность касается оснований и равнобокой трапеции в их серединах и пересекает боковую сторону в точках и таких, что лежит между и , а , , . Найдите квадрат радиуса окружности .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть и — точки касания окружности с основаниями и соответственно. По теореме о касательной и секущей получаем, что , , поэтому , . Из прямоугольной трапеции находим, что

Остаётся заметить, что — диаметр окружности, поэтому квадрат её радиуса равен

Похожие задачи

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

Центр окружности ω радиуса R расположен на гипотенузе AC треугольника ABC. Известно, что ω пересекает AC в точках P и E (P лежит между A и E) и касается обоих катетов треугольника ABC. Найдите CE, если AP=4, а радиус окружности ω равен 10,5.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 10

Угол A остроугольного треугольника ABC равен 60^circ, а AB>AC. Пусть I — точка пересечения биссектрис, а H — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите angle ABC, если angle AHI=78^circ. Ответ укажите в градусах.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 9

В равностороннем треугольнике PQR проведена вписанная окружность. Высота PH пересекает окружность в точке A, отличной от H. Прямая AQ вторично пересекает окружность в точке B. Найдите радиус окружности, если AB=√(63).

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ AC является диаметром, а AB=BD. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины C до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла ABD.

Сложная

Планиметрия