Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

Во вписанном четырёхугольнике диагональ является диаметром, а . Известно, что радиус его описанной окружности равен , а расстояние от вершины до точки пересечения диагоналей равно . Найдите косинус угла .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — точка пересечения диагоналей, . Так как — диаметр, а дуги и равны, находим, что

Так как треугольник равнобедренный, . Тогда , . По теореме синусов для треугольника получаем, что

Решая уравнение, находим, что , поэтому .

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 8

В треугольной пирамиде ABCD углы ACB, BCD и ACD прямые. На рёбрах CD, AC и BD отмечены точки P, Q и R соответственно, причём dfrac{DP}{DC}=dfrac{AQ}{AC}=dfrac13, dfrac{DR}{DB}=dfrac12. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью PQR, если известно, что AC=3, BC=4, а угол между плоскостью PQR и

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 7

В треугольнике PQR на стороне PQ выбрана точка K, а на стороне QR — точка L. Отрезки PL и KR пересекаются в точке T. Чему равна площадь треугольника PQR, если S_PKT=10, S_PTR=11, S_RTL=12?

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

Центр окружности ω радиуса R расположен на гипотенузе AC треугольника ABC. Известно, что ω пересекает AC в точках P и E (P лежит между A и E) и касается обоих катетов треугольника ABC. Найдите CE, если AP=4, а радиус окружности ω равен 10,5.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 10

Угол A остроугольного треугольника ABC равен 60^circ, а AB>AC. Пусть I — точка пересечения биссектрис, а H — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите angle ABC, если angle AHI=78^circ. Ответ укажите в градусах.

Сложная

Планиметрия