Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 8

В треугольной пирамиде углы , и прямые. На рёбрах , и отмечены точки , и соответственно, причём , . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью , если известно, что , , а угол между плоскостью и прямой равен .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть — точка пересечения прямых и , — точка пересечения прямых и . Тогда по теореме Менелая для треугольников и

Обозначим площадь треугольника через , проекцию точки на плоскость (ребро ) — через . Тогда

— проекция сечения на плоскость . Искомая площадь сечения равна

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, первый тур, задача 5

На рёбрах BC, AB и A₁B₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки K, L и M соответственно так, что BC:BK=AL:LB=B₁M:MA₁=2. Прямая ell пересекает прямые CD, C₁K, B₁D₁ и LM в четыр

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 9

В равностороннем треугольнике PQR проведена вписанная окружность. Высота PH пересекает окружность в точке A, отличной от H. Прямая AQ вторично пересекает окружность в точке B. Найдите радиус окружности, если AB=√(63).

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 9

Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ AC является диаметром, а AB=BD. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины C до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла ABD.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 8

Окружность ω касается оснований AD и BC равнобокой трапеции ABCD в их серединах и пересекает боковую сторону AB в точках K и L таких, что K лежит между A и L, а AK=24, KL=30, BL=10. Найдите квадрат радиуса окружности ω.

Сложная

Планиметрия