Покори Воробьёвы горы 2025, отборочный этап, 7–9 классы, задача 6 (7–8), задача 4 (9)

Пусть - строго возрастающая последовательность натуральных чисел (т.е. ). Известно, что и при всех . Найдите .

Ответ

Ответ: , такая последовательность только одна: , , , , …

Решение: Достаточно доказать, что , иначе не получится целое:

По условию , следовательно, . Это число делится на только при или , но быть не может, т.к. последовательность возрастающая.

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 9 (творческая III)

Коридор имеет ширину 3 и длину n. Имеется паркетная плитка двух размеров: 1 × 2 и 2 × 2. Найдите количество способов уложить паркет на пол в этом коридоре. В ответе укажите две последние цифры найденного числа (например, если получено число 1234567, то в ответе следует указать 67). n=2022.

Сложная

Прогрессии

Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы 2021, отборочный этап, 9 класс, задача 7

Дана последовательность положительных чисел a₁,a₂,ldots,a₁₀, удовлетворяющих соотношению a_n(a_n-1+a_n+1)=2a_n-1a_n+1(a_n+1) при n=2,3,ldots,9. Найдите a₅, если известно, что a₁=1 и a

Сложная

Алгебра

Прогрессии

Покори Воробьёвы горы 2023, отборочный этап, 11 класс, задача 9 (творческая III)

Последовательность целых чисел задана рекуррентно: x₀=0, x₁=1, x_2k=2 · x_2k-1-x_2k-2,qquad x_2k+1=3 · x_2k-x_2k-1. Найти operatorname{НОД}(x₁₄₂₈,x₁₇₁₆), где operatorname{НОД}(a,b) это наибольший

Сложная

Теория чисел

Прогрессии

Покори Воробьёвы горы 2025, отборочный этап, 10 класс, задача 2

Пусть {x₁,x₂,ldots} - строго возрастающая последовательность натуральных чисел (т.е. x₁23n). Известно, что x₁=1 и x_n-1 · x_n+1=x_n³+1 при всех n>1. Найдите x₅.

Сложная

Теория чисел

Прогрессии