МОШ 2026, 11 класс, задача 3
В остроугольном треугольнике высоты , и пересекаются в точке . Три окружности с центрами в точках , , , проходящие через , пересекают прямые , и соответственно в шести различных точках. Докажите, что эти шесть точек можно разбить на две тройки так, чтобы для двух треугольников, образованных этими тройками точек, нашлась окружность, касающаяся всех шести прямых, содержащих стороны этих треугольников.
(И. Михайлов)
Решение. Обозначим точки пересечения трёх окружностей с центрами в точках , , , проходящих через , с прямыми , и соответственно, как показано на рисунке.
Поскольку треугольники , , — прямоугольные и равнобедренные, выполнены равенства
Тогда заметим, что при композиции поворота вокруг точки на угол против часовой стрелки и гомотетии с центром в и коэффициентом треугольник переходит в треугольник . Поскольку — центр окружности, вписанной в треугольник (обозначим её радиус ), получаем, что — центр окружности, вписанной в треугольник , радиус которой равен . Проводя аналогичное рассуждение для равнобедренных прямоугольных треугольников , и , получаем, что окружность с центром в радиуса вписана в треугольник . Таким образом, у треугольников и — общая вписанная окружность, что и требовалось доказать.