Высшая проба 2026, 11 класс, задача 5
(19 баллов) На плоскости отмечено точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два несовпадающих треугольника с вершинами в отмеченных точках, отношение периметров которых отличается от менее чем на .
Решение. Пусть периметры всех треугольников с вершинами в отмеченных точках равны
Без ограничения общности считаем, что . Положим .
Если для некоторого выполнено , то нужные два треугольника найдены. Предположим противное: для всех имеем . Тогда
У треугольника с минимальным периметром каждая сторона короче . Так как никакие три точки не лежат на одной прямой, хотя бы одна его сторона не имеет общих концов с самой длинной стороной треугольника максимального периметра. Обозначим эту короткую сторону через , а самую длинную сторону максимального треугольника через . Тогда , причем отличны от .
Рассмотрим треугольники и . Оба имеют сторону , поэтому их периметры больше . Пусть . По неравенству треугольника
следовательно,
Значит,
Осталось показать, что . Оценим
Тогда
Осталось проверить два использованных численных неравенства. Неравенство при можно вывести из бинома Ньютона:
для достаточно больших ; в оставшихся малых случаях оно проверяется напрямую. Кроме того,
а и , поэтому . Значит, .
Можно было оценить и иначе:
что проверяется последовательным возведением в квадрат и сравнением, а затем использовать более слабую нижнюю оценку для . В обоих вариантах получаем .
Поэтому
что противоречит предположению о том, что любые два соседних по возрастанию периметра отличаются как минимум в раз. Противоречие доказывает требуемое.
Замечание. Дословно так же доказывается более общая оценка: если отмечено точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и , то найдутся два несовпадающих треугольника, отношение периметров которых отличается от менее чем на $\varepsil
Верное решение.
А1. В предположении от противного показано, что отношение самого большого периметра к самому маленькому не меньше.
Б1. Решение основано на рассмотрении конфигурации източек,,,, где- достаточно длинный отрезок, являющийся стороной самого большого по периметру треугольника,- достаточно короткий отрезок, являющийся стороной самого маленького по периметру треугольника. Корректно оценены периметры треугольникови, правильно рассмотрены возможные случаи совпадения вершин большого и маленького треугольников.
Б2. Аналогично, но случаи совпадения вершин маленького и большого треугольников не рассмотрены или рассмотрены неверно.
Б3. Рассматриваются только отрезки наибольшей и наименьшей длины без привязки к периметрам треугольников, не рассматриваются случаи когда концы отрезков совпадают.
В1. Выполнена корректная алгебраическая оценка отношений рассмотренных периметров, показано, что это приводит к противоречию в предположении от противного.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.
Баллы за критерии с разными литерами суммируются. Баллы за критерии с одной литерой не суммируются.