Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 9
За круглый стол сели мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ
Ответ. .
Решение. У трёх мудрецов, сидящих подряд, числа на карточках не могут быть одновременно отрицательными. Значит, у любой тройки мудрецов, сидящих подряд, на карточках записано не более двух отрицательных чисел. Выберем какого-нибудь мудреца, на карточке которого написано положительное число. Также возьмём его соседа (на его карточке может быть отрицательное число). Остальных мудрецов разобьём на тройку сидящих подряд. Значит, есть не более чем карточек с отрицательными числами.
карточки с отрицательными числами может быть, например, в следующей ситуации. Занумеруем мудрецов по кругу. Пусть у мудрецов с номерами , , , , , карточки с числом , а у остальных — карточки с числом .