Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 7
Какое наименьшее значение может принимать сумма различных натуральных чисел таких, что
- ни одно из которых не делится ни на , ни на , ни на , ни на ;
- сумма любых двух чисел делится на ;
- сумма любых трёх чисел делится на ;
- сумма любых пяти чисел делится на ;
- сумма любых семи чисел делится на ?
Ответ
Ответ. .
Решение. Из последних четырёх условий следует, что все числа имеют одинаковые остатки от деления на каждое из чисел , , , . Покажем, например, что остатки от деления на у всех чисел одинаковы. И правда, каждая из сумм и делится на , но тогда и разность этих сумм, равная , также делится на , поэтому и имеют одинаковые остатки от деления на .
Поскольку все числа имеют одинаковые остатки от деления на взаимно простые числа , , , , отсюда следует, что у них одинаковые остатки от деления на .
Таким образом, данные числа представимы в виде , где , , причём фиксировано, а должно быть различным для каждого из чисел. Чтобы ни одно из чисел не делилось ни на , ни на , ни на , ни на , необходимо и достаточно, чтобы этому условию удовлетворяло число . Минимально возможное значение равно , а минимальное значение суммы всех чисел есть