Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 10
На клетки доски положили камни попарно различного веса (в каждую клетку положили ровно один камень). Тройку клеток назовём хорошей, если они расположены в виде «уголка», а камень, лежащий в «вершине» уголка, тяжелее каждого из двух камней, лежащих в двух остальных клетках уголка. Какое наибольшее количество хороших троек клеток может быть на доске? Тройки могут пересекаться.
Ответ
Ответ. .
Решение. Рассмотрим любой квадрат клетки на доске. Он содержит уголка. Тогда в этом квадрате не больше хороших троек. Так как каждый уголок находится в каком-то квадрате , то хороших троек на доске не больше половины от общего количества уголков. Это количество равно , так как всего на доске есть квадратов размером . Таким образом, хороших троек не больше .
Покажем, что на доске может быть хорошие тройки. Раскрасим клетки доски в два цвета в шахматном порядке и положим на чёрные клетки более тяжёлых камня, а на белые — более лёгкие камня. Тогда в каждом квадрате будет ровно две хорошие тройки.