Две катушки, три резистора
В цепи, представленной на рис. 4, ключ изначально разомкнут. Значения обозначенных на рисунке параметров цепи равны: , , , . Активное сопротивление катушки равно нулю.
Ключ замыкают, и в цепи начинается переходный процесс; при этом ток через батарейку меняется в некотором диапазоне, границы которого обозначим через и . Считайте известным тот факт, что ток через батарейку в переходном процессе меняется монотонно.
А) Определите значение . Ответ дайте в Амперах, округлите до десятых.
Б) Определите значение . Ответ дайте в Амперах, округлите до десятых.
Спустя некоторое время после начала переходного процесса ток через батарейку устанавливается. Далее ключ размыкают.
В) Чему равно напряжение на среднем резисторе, расположенном на рис. 4 вертикально, сразу после размыкания ключа? Ответ дайте в Вольтах, округлите до целого.
Г) Какое количество теплоты выделяется в цепи после размыкания ключа? Ответ дайте в Джоулях, округлите до десятых.
Д) Какое количество теплоты выделяется на среднем резисторе после размыкания ключа? Ответ дайте в Джоулях, округлите до десятых.
Решение.
Обозначим через ток, текущий по виткам одной из катушек. Ток в другой катушке будет таким же в силу симметрии. Можно доказать, что производная не меняет знака в переходном процессе и становится равна нулю, когда токи в элементах цепи перестают меняться. Причём доказательство не требует решения дифференциального уравнения. Таким образом, данное в условии утверждение о том, что зависимость тока через батарейку от времени - монотонная, является избыточным.
Сразу после замыкания ключа и спустя длительное время после замыкания ключа токи через батарейку равны соответственно:
Сразу после размыкания ключа токи через катушку остаются такими же, как до размыкания. В процессе уменьшения тока через катушки до нуля, ток, текущий через средний резистор, оказывается вдвое большим тока, текущего через любой из крайних резисторов. Отсюда следует, что количество теплоты, выделяющееся на среднем резисторе вдвое больше количества теплоты, выделяющегося на любом из крайних.
Ответ. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .