Инженерная олимпиада 2022, 11 класс, задача 3
На однородный цилиндр радиуса и массы намотана невесомая нить, к концу которой привязано тело массы . Цилиндр аккуратно кладут на наклонную плоскость, по которой он может катиться без проскальзывания, так, что его образующая перпендикулярна направлению быстрейшего спуска с плоскости (см. рисунок). При каком угле наклона плоскости цилиндр будет двигаться вверх по плоскости?
Цилиндр будет подниматься вверх, если момент силы натяжения нити , связанной с телом массой , будет больше момента силы тяжести цилиндра относительно точки касания цилиндра и плоскости:
Находя плечи соответствующих сил относительно точки касания цилиндра и плоскости (см. рисунок), получим условие движения цилиндра вверх
Отсюда получаем условие на угол наклона плоскости, при котором цилиндр будет двигаться вверх:
где - масса цилиндра.
(условие уменьшения энергии системы при подъеме - большее уменьшение потенциальной энергии тела при опускании, чем потенциальной энергии цилиндра при подъеме приводят к тому же результату). Отметим, что от радиуса цилиндра ответ не зависит.
Правильная основная идея решения – сравнение моментов силы тяжести и силы натяжения нити относительно точки касания цилиндра (или сравнение увеличения-убыли потенциальной энергии цилиндра и тела) – 0,5 балла.
Правильные формулы для момента силы – 0,5 балла.
Правильные плечи сил тяжести и силы натяжения – 0,5 балла.
Правильный ответ – 0,5 балла.