Инженерная олимпиада 2025, 11 класс, задача 5
Два длинных стержня и прикреплены шарнирно к полу и потолку в точках и , находящихся друг под другом на расстоянии . На стержни надето колечко , которое может без трения скользить по ним. Колечко перемещается с постоянной скоростью вдоль горизонтальной прямой , причем (см. рисунок).
Найти угловую скорость стержней в тот момент времени, когда .
Пусть в момент времени, который мы условно выберем за начальный, колечко располагалось в точке , а потом начало двигаться с постоянной скоростью вдоль горизонтальной прямой . Тогда
, и
Угловые скорости стержней найдем, дифференцируя эти формулы по времени и учитывая, что
Имеем
Или
Эти угловые скорости зависят от времени, поскольку зависят от времени и . Найдем их в тот момент, когда . Из рисунка видно, что в этот момент времени
Косинус угла найти немного сложнее. Опустим перпендикуляр из вершины треугольника на сторону . Так как треугольник в рассматриваемый момент равнобедренный, то . Пусть . Тогда из подобия треугольников и имеем
Отсюда находим
В результате для угловых скоростей стержней в рассматриваемый момент имеем
Те же ответы можно получить и без дифференцирования, рассматривая малое перемещение колечка и находя углы поворота стержней.
Правильные выражения для углов и в зависимости от времени
Правильно найдены тригонометрические функции углов и в рассматриваемый момент времени
Правильные выражения для угловых скоростей стержней (через производные найденных функций) (или - при решении через малые приращения углов - правильно найдены малые углы поворота стержней при малом перемещении колечка)
Правильный ответ для
Правильный ответ для