Инженерная олимпиада 2026, 10 класс, задача 1
Имеется пластина в форме прямоугольника, стороны которого отличаются вдвое, сделанная из горючего материала (левый рисунок, на котором меньшая сторона прямоугольника обозначена ). Пластину поджигают одновременно по всему периметру, и через время она оказывается полностью охваченной огнем. Через какое время будет полностью охвачена огнем пластина из того же материала, но в форме прямоугольного треугольника, представляющего собой половину первой пластины (правый рисунок)?
Решение.
Чтобы вся пластина была охвачена огнем, огонь должен дойти от сторон пластины до точек наиболее удаленных от сторон пластины.
Для прямоугольной пластинки со сторонами и это точки, лежащие посередине пластины на расстоянии от сторон (см. рисунок; точки наиболее удаленные от сторон, показаны жирной прямой).
Из рисунка видим, что огонь должен пройти расстояние . Поэтому скорость распространения огня по материалу пластинки равна
А для того, чтобы пластинка в форме прямоугольного треугольника, подожженная одновременно со всех сторон, была полностью охвачена огнем, нужно чтобы огонь дошел до точки, максимально удаленной от сторон треугольника. А это - центр вписанной окружности, и огонь дойдет до этой точки через время
где - радиус вписанной окружности. Радиус вписанной в треугольник окружности найдем из следующих геометрических соображений. Проведем из центра вписанной окружности радиусы в точки касания окружностью катетов и гипотенузы. Тогда, поскольку катеты и гипотенуза являются касательными к вписанной окружности, то очевидно, что расстояния от точек касания окружностью катетов до вершины прямого угла равны (см. рисунок). Поэтому расстояния от этих точек до вершин острых углов равны и (см. рисунок). С другой стороны, эти расстояния равны расстояниям от вершин острых углов до точки касания вписанной окружностью гипотенузы (см. рисунок). Поэтому
где - гипотенуза треугольника. В результате из формулы (*) получаем
Правильная идея решения - найти скорость распространения огня из данных по прямоугольной пластинке, а затем использовать их для пластинки в форме прямоугольного треугольника
Правильно найдена скорость распространения огня
Правильное утверждение, что пластинка в форме треугольника будет полностью охвачена огнем, когда огонь дойдет до центра вписанной окружности
Правильно найден радиус вписанной окружности и обосновано его нахождение
Правильный ответ