Уборка по Линдалю
Андрей и Вася поступили в ВШЭ и поселились в общежитии. Каждый из них любит две вещи: отдых и чистоту. На всё вместе у каждого по 10 часов времени в неделю (остальное уходит на учебу). Функция полезности Андрея имеет вид UA(xA,G)=xA+2ln(G), Васи — UB(xB,G)=xB+3ln(G), где x — отдых (у каждого он свой), G — чистота. Для простоты будем считать, что чистота равна числу часов, потраченных на уборку в сумме Андреем и Василием.
Пусть Андрей и Василий принимают решения одновременно. Сколько каждый из них будет отдыхать и делать уборку?
На первой лекции по микроэкономике наши студенты узнали, что такое Парето-оптимальность, и решили выяснить, является ли их поведение оптимальным по Парето. Что они выяснили?
В погоне за оптимальностью Андрей и Василий решили выбрать такое распределение, в котором сумма их полезностей максимальна, и после уборки у них остается одинаковое количество свободного времени. Сколько времени они теперь тратят на уборку? Верно ли, что новая ситуация лучше старой для каждого из студентов?
На очередной лекции по микроэкономике профессор Линдаль рассказал им про интересный механизм, который помогает эффективно устроить производство общественного блага. Каждый из студентов должен представить себе, что чистота G — частное благо, которое можно купить по цене P часов за единицу времени (раньше для обоих студентов было P=1). Хитрость механизма в том, что цены для Андрея и Василия разные (PA и PB) и подбираются так, чтобы оба студента выбрали оптимальную чистоту (найденную в предыдущем пункте). Найдите PA и PB.
Студенты уже было обрадовались, как вспомнили об одной маленькой детали: убираться всё равно нужно. Ведь "технология" уборки не изменилась, поэтому чтобы механизм сработал, общего времени, "потраченного" студентами на чистоту, должно хватить, чтобы достичь "купленного" ими уровня чистоты. Если времени хватит, они решили в знак благодарности назвать цены в честь профессора — ценами Линдаля, написать об этом в университетскую газету и тайно положить последний номер газеты на стол профессору. Если нет — сделать, наконец, уборку, собрать весь мусор и... тоже положить его профессору на стол. Что найдет профессор на своем столе?
Примечания:
- Для функции полезности ln(x) предельная полезность имеет вид 1/x, а само значение функции можно посчитать на любом инженерном калькуляторе. Это всё, что нужно знать про натуральный логарифм для решения данной задачи.
- Если Вы не знаете, что такое Парето-оптимальность, второй пункт можно пропустить: остальные пункты решаются независимо от него.