Когда брать ипотеку?

Иван Дальновидный имеет следующую личную финансовую цель. Через 40 лет (480 месяцев) от текущего момента, когда он выйдет на пенсию:

• у него должна быть своя квартира;
• ипотечный кредит за нее должен быть полностью погашен;
• величина чистых активов (стоимость квартиры плюс накопления на депозите) должна быть максимально возможной при этих условиях.

Иван живет в стране с очень стабильной экономикой: инфляция в ней всегда равна в месяц (на эту величину ежемесячно растут все цены в экономике, в том числе цены квартир в продаже и стоимость аренды жилья), доходность всех депозитов также составляет в месяц (начисляется на остаток ежемесячно), на столько же процентов будет расти и ежемесячный доход Ивана за вычетом необходимых расходов на все товары и услуги, кроме жилья. В начальный момент времени состояние Ивана описывается следующими значениями переменных:

• он живет в съемной квартире, арендная плата за которую равна (арендная плата выплачивается в конце каждого месяца);
• доход за месяц за вычетом необходимых расходов, кроме жилья, равен ;
• накопления на депозите отсутствуют: ;
• цена такой квартиры, какую хочет купить Иван, равна .

Своей квартиры у Ивана нет, и без ипотеки (на собственные сбережения) он купить ее не сможет ни в один из моментов. Он может в любой момент прекратить арендовать квартиру и купить свою в ипотеку по ставке в месяц (, капитализация ежемесячно). Назовем этот момент . Срок ипотеки составляет месяцев. Чтобы взять ипотеку, он снимает все свои сбережения с депозита и использует их для уплаты первоначального взноса, а на оставшуюся часть стоимости квартиры берет кредит. Начиная с момента , он перестает платить за аренду и вместо нее выплачивает в моменты не растущий с инфляцией ипотечный платеж , рассчитанный по правилу аннуитета.

Независимо от того, платит Иван в конкретный месяц за аренду или за ипотеку, все оставшиеся средства он сразу после этой выплаты кладет на банковский депозит (кроме момента , в который оставшиеся после уплаты аренды средства идут в счет первоначального взноса по ипотеке).

а) (3 балла) Найдите сумму сбережений Ивана в момент времени (непосредственно перед покупкой квартиры) и размер кредита .

б) (1 балл) Выразите через , и .

в) (8 баллов) В какой момент Ивану нужно взять ипотеку, чтобы достичь личной финансовой цели? Ответ обоснуйте и выразите через соотношение параметров , , , и . Подсказка: вам может помочь дисконтирование.