Стыд и зависть в экономической модели

Экономистов часто упрекают в том, что люди в их моделях – эгоистичные создания, лишенные доброты, любви, эмпатии и чувства справедливости. Реальные люди, между тем, не такие, что подтверждается исследованиями их поведения. Так, в экспериментах (и в реальных жизненных ситуациях) участники зачастую принимают решения так, как будто их заботит не только собственный выигрыш, но и справедливость распределения. Причем неприязнь несправедливости может быть связана как с завистью (я не хочу, чтобы другие получили больше, чем я), так и со стыдом (я не хочу получить больше, чем другие).

Рассмотрим модель взаимоотношения двух инвесторов, Клары и Марфы, которые могут вложить деньги в совместный проект. Если Клара вложит K тыс. руб., а Марфа вложит M тыс. руб., то проект принесет им общую сумму 1,6(K+M), которую они разделят пополам. Каждая из них может вложить любую сумму не больше 100 тыс. руб. Считайте, что если какая-то из девушек безразлична между несколькими вариантами вложения, она выбирает из них тот, в котором сумма вложения максимальна.

Совместное инвестирование предложила Клара, но Марфа не очень доверяет ей, поэтому поставила Кларе условие: «Сначала ты вносишь на банковский счет свою сумму K, а уже потом, когда я увижу эту сумму на счете, я добавлю к ней M ». Так и договорились.

а) ( 0 баллов) Предположим, что каждая из девушек просто максимизирует сумму денег, которая останется у нее после реализации инвестиционного проекта. Доказать, что в этом случае K=M=0, слишком просто, поэтому составители решили не давать за это баллов.

б) ( 6 баллов) Предположим теперь, что у девушек есть и другие интересы, кроме личного обогащения. А именно, используем функцию полезности, предложенную Эрнстом Фером и Клаусом Шмидтом:^1

U_K = x_K - \alpha \max\{x_M - x_K; 0\} - \beta \max\{x_K - x_M; 0\}, \\ U_M = x_M - \alpha \max\{x_K - x_M; 0\} - \beta \max\{x_M - x_K; 0\},

где U_K  и U_M  – функции, которые девушки (Клара и Марфа соответственно) максимизируют, x_K  и x_M  – их выигрыш в деньгах (сумма, оставшаяся на руках после реализации проекта), \alpha  – параметр зависти, \beta  – параметр стыда (\alpha, \beta>0). Функция max\{x;y\}  принимает значение x, если x>y, и значение y  в ином случае. Оказывается, что забота не только о своем, но и о чужом выигрыше может хорошо сказаться на итогах инвестиционного проекта: в отличие от ситуации пункта а) (в котором \alpha=\beta=0 ), девушки могут на нем заработать. Найдите ограничения на параметры \alpha  и \beta, при которых это произойдёт.