Стыд и зависть в экономической модели

Экономистов часто упрекают в том, что люди в их моделях – эгоистичные создания, лишенные доброты, любви, эмпатии и чувства справедливости. Реальные люди, между тем, не такие, что подтверждается исследованиями их поведения. Так, в экспериментах (и в реальных жизненных ситуациях) участники зачастую принимают решения так, как будто их заботит не только собственный выигрыш, но и справедливость распределения. Причем неприязнь несправедливости может быть связана как с завистью (я не хочу, чтобы другие получили больше, чем я), так и со стыдом (я не хочу получить больше, чем другие).

Рассмотрим модель взаимоотношения двух инвесторов, Клары и Марфы, которые могут вложить деньги в совместный проект. Если Клара вложит тыс. руб., а Марфа вложит тыс. руб., то проект принесет им общую сумму , которую они разделят пополам. Каждая из них может вложить любую сумму не больше тыс. руб. Считайте, что если какая-то из девушек безразлична между несколькими вариантами вложения, она выбирает из них тот, в котором сумма вложения максимальна.

Совместное инвестирование предложила Клара, но Марфа не очень доверяет ей, поэтому поставила Кларе условие: «Сначала ты вносишь на банковский счет свою сумму , а уже потом, когда я увижу эту сумму на счете, я добавлю к ней ». Так и договорились.

а) ( баллов) Предположим, что каждая из девушек просто максимизирует сумму денег, которая останется у нее после реализации инвестиционного проекта. Доказать, что в этом случае , слишком просто, поэтому составители решили не давать за это баллов.

б) ( баллов) Предположим теперь, что у девушек есть и другие интересы, кроме личного обогащения. А именно, используем функцию полезности, предложенную Эрнстом Фером и Клаусом Шмидтом:

где   и   – функции, которые девушки (Клара и Марфа соответственно) максимизируют,   и   – их выигрыш в деньгах (сумма, оставшаяся на руках после реализации проекта),   – параметр зависти,   – параметр стыда . Функция   принимает значение , если , и значение   в ином случае. Оказывается, что забота не только о своем, но и о чужом выигрыше может хорошо сказаться на итогах инвестиционного проекта: в отличие от ситуации пункта а) (в котором  ), девушки могут на нем заработать. Найдите ограничения на параметры   и , при которых это произойдёт.