Для начала выведем уравнение кривой производственных возможностей. Заметим, что множество точек, равноудаленных от некоторой точки О, образует окружность с центром в этой точке О. Поэтому наша кривая является частью окружности с центром в начале координат и радиусом 100 (т.к. максимальный выпуск Хлеба и есть радиус данной окружности).

КПВ: x^2 + z^2 = 100^2, \text{ где } x - \text{Хлеб, а } z - \text{Зрелища}.

Нас интересует такое отношение k, что k = \frac{z}{x}. Отсюда получим, что z = kx. После расширения наша КПВ будет иметь вид x^2 + z^2 = (100k)^2.

Теперь подставим в первоначальное и полученное уравнения КПВ выражение для Зрелищ z=kx. После выражения Хлеба из этих выражений получаем, что в изначально Хлеба производилось x = \frac{100}{\sqrt{1 + k^2}}, а после расширения x = \frac{100k}{\sqrt{1 + k^2}}.

Теперь нас интересует, чтобы сумма этих количеств Хлеба была максимальной. Для этого составим функцию их суммы:

S = \frac{100k + 100}{\sqrt{1 + k^2}}..

Аккуратно берем производную (не забывая о том, что данная функция является сложной) и приравниваем ее к 0. Из полученного уравнения получаем, что интересующее нас k равняется 1. Подставив в функцию суммы значение k=0, убедимся, что k=1 задает именно максимум функции суммы. Поэтому для максимизации количества Хлеба, произведенного за 2 года, производить нужно равное количество Хлеба и Зрелищ, т.е. в пропорции 1:1.

Т.к. в древнем Риме производились только эти 2 блага, то экономический рост в данном государстве может быть отражен расширением имеющейся у нас КПВ. Но при производстве Хлеба и Зрелищ в полученном отношении этого расширения не будет, т.к. при k=1 КПВ через год полностью совпадет с исходной кривой производственных возможностей, поэтому такое производство Хлеба не способствует экономическому росту.

Ответ:

Необходимо производить Хлеб и Зрелища в пропорции 1:1, но такое производство не способствует экономическому росту.

Примечание:

Хлеб и Зрелища - древнеримская интерпретация потребительских и инвестиционных товаров. Несложно догадаться, что любая попытка максимизировать количество потребительских товаров вряд ли может привести к экономическому росту.