Рейтинги неравенства
В некотором королевстве есть 2012 регионов. В каждом регионе население состоит из двух групп с ненулевой численностью, внутри которых доходы распределены равномерно.
Король поручил трем ведущим экономическим университетам составить рейтинги регионов по степени неравенства доходов (то есть расположить регионы по возрастанию уровня неравенства доходов в них). Единой меры неравенства не существует, и университеты используют в своей работе разные показатели:
-Университет B использует для измерения неравенства коэффициент Джини;
-Университет P использует для измерения неравенства отношение среднедушевого дохода в более богатой группе населения к среднедушевому доходу в более бедной группе населения;
-Университет M измеряет неравенство с помощью отношения доходов 20\% богатейших жителей области к доходам 20\% беднейших.
По данным каждого из университетов, во всех 2012 регионах уровень неравенства доходов разный.
а) Верно ли, что рейтинги, составленные университетами B и P, будут одинаковыми?
б) Верно ли, что рейтинги, составленные университетами B и M, будут одинаковыми?
в) Верно ли, что рейтинги, составленные университетами P и M, будут одинаковыми?
г) Верно ли, что, какие два региона ни возьми, хотя бы два университета из трех всегда придут к одному мнению относительно того, в каком из них неравенство доходов выше?
Пусть x — доля более бедной группы в населении, а y — ее доля в доходе. Тогда коэффициент Джин равен x-y, а отношение среднедушевого дохода в группе богатых к среднедушевому доходу в группе бедных равно \frac{(1-y)x}{(1-x)y}.
а) Нет.
б) Нет. Контрпример один и тот же. Пусть в первом регионе бедная группа составляет 20\% населения и обладает 10\% дохода, а во втором регионе бедная группа составляет 25\% населения и обладает 14\% дохода. Тогда коэффициенты Джини равны 0,2-0,1=0,1 и 0,25-0,14=0,11 соответственно. Поскольку в обоих этих регионах бедная группа составляет не меньше 20\%, но и не больше 80\% населения, 20\% беднейших в каждом из этих регионов будут целиком принадлежать бедной группе, а 20\% богатейших — целиком принадлежать богатой группе, из чего следует, что значения мер, используемых университетами P и M, совпадут. Они будут равны \frac{(1-0,9)0,2}{(1-0,2)0,9}=\frac{9}{4} для первого региона и \frac{(1-0,14)0,25}{(1-0,25)0,14}=\frac{43}{21} для второго. Как видим, университет B придет к выводу, что в первом регионе неравенство меньше (0,1<0,11), а другие университеты — что оно меньше во втором регионе (\frac{43}{21}<\frac{9}{4}). Значит, в рейтинге B первый регион будет выше, чем второй, а в рейтингах P и M — наоборот, второй выше, чем первый, и рейтинги не совпадут.
в) Нет. Ясно, что пример надо искать среди случаев, когда в одной из групп меньше 20\% населения, иначе, как было замечено выше, эти две меры просто совпадают.
Контрпример. Пусть в первом регионе бедная группа составляет 90\% населения и обладает 45\% дохода, а втором бедные составляют 80\% населения и обладают 1/3 дохода. Тогда отношение среднедушевых доходов в первом регионе равно 11, а во втором – 8. С другой стороны, отношение доходов 20\% богатейших к 20\% беднейших во втором регионе также равно 8, а в первом – 6. (В первом регионе, в отличие от второго, в 20\% богатейших вошли как члены более бедной, так и члены более богатой группы населения). Таким образом, рейтинги, составленные университетами, будут отличаться: в рейтинге P выше будет второй регион, а рейтинге M — первый.
г) Да. Поскольку все университеты считают, что во всех областях степень неравенства разная, есть всего два разных мнения – «в первой области неравенство больше» и «во второй области неравенство больше». Эти два мнения надо приписать трем университетам. Значит, хотя бы два университета из трех будут придерживаться одного мнения. Это рассуждение является не чем иным, как применением известного из математики принципа Дирихле.
Возникает интересная ситуация: как мы показали, любые два их трех университетов могут разойтись во мнениях по каким-то двум областям, но при этом хотя бы два из них во мнениях обязательно сойдутся.