Делим неделимое

Распределение благ между экономическими агентами — одна из важнейших задач экономики.

Рассмотрим распределение конечного набора неделимых благ между агентами. — полезность, которую агент получает от блага . Если агент имеет несколько благ, то их полезности для него суммируются.

Важным критерием успешного дележа является нежелание каждого агента оспорить этот дележ. Один из способов смотреть на это — дележ без зависти: никто из агентов не хотел бы получить чужой набор благ вместо своего. Сформулируем два условия дележа без зависти:

1. Каждое благо целиком достается ровно одному агенту.
2. Полезность агента от имеющихся у него благ не меньше, чем была бы его же полезность от набора благ, имеющегося у любого другого агента.

а) (3 балла) Приведите три примера (агенты и блага) из жизни, где такой дележ может применяться и быть полезен, и объясните их.

б) (1 балл) Найдите дележ без зависти для следующего примера с пятью благами и тремя агентами. В ответе укажите, какой набор благ достанется каждому из агентов.

в) (2 балла) Найдите, при каких значениях параметра в следующем примере с четырьмя благами и двумя агентами не существует дележа без зависти.

г) (6 баллов) Как показал предыдущий пункт, дележ без зависти существует далеко не всегда, поэтому часто рассматривается более слабая его версия: дележ без сильной зависти. В нем условие отсутствия зависти ослабляется: для любой пары агентов, где первый завидует второму, первый перестанет завидовать, если у второго удалить из набора любое благо (то есть какое бы одно благо ни было удалено из чужого набора, зависть исчезнет). Докажите, что в случае двух агентов и произвольного числа благ дележ без сильной зависти существует всегда.