Тригоноляндия - 2, или Хорошее отношение к лошадям
В результате вооружённого переворота в стране Тригоноляндии к власти пришёл король Филипп I. Сосредоточив в своих руках все инструменты фискальной и монетарной политики, Филипп решил как можно быстрее определиться с целевыми показателями инфляции и безработицы, чтобы начать действовать.
«Из всех доступных комбинаций инфляции и безработицы я выберу ту, что будет максимизировать полезность общества во благо всеобщего процветания!» – произнёс Филипп во время коронации.
Помятуя о существовании кривой Филлипса, показывающей взаимосвязь между инфляцией и безработицей в краткосрочном периоде, монарх поручил компании Philips Electronics в рамках проекта «Изменим жизнь к лучшему!» описать множество комбинаций инфляция – безработица, из которого он мог бы выбрать оптимальную. Почти завершив исследование, главный аналитик компании Philips Electronics исчез при загадочных обстоятельствах. В его кабинете был найден листок бумаги с двумя формулами:
Подходили сроки окончания проекта, и нужно было сообщить королю множество доступных комбинаций. В компании Philips Electronics догадались, что формулы на листке – кривые Филлипса ( – темп инфляции в процентах, – уровень безработицы в процентах), но не знали, какую из двух формул выбрать. Опасаясь совершить роковую ошибку и помня о том, что «истина всегда лежит между крайностями», директор компании Philips Electronics сообщил королю следующее: «Вы можете выбрать любую точку на плоскости инфляция – безработица, лежащую между этими двумя кривыми». Король не заставил себя долго ждать: «Максимизирует общественную полезность точка A», – вымолвил он, нарисовав две кривых и указав монаршим перстом на одну из точек между ними.
С тех пор экономика Тригоноляндии находилась в точке A. Но в один прекрасный день в канцелярию Его Величества пришло письмо от Филиппинского экономического общества, в котором говорилось, что кривые Филлипса устарели, а множество доступных комбинаций инфляции и безработицы теперь описывается с помощью индекса Филлипса
а именно: можно выбирать любое сочетание и , лишь бы был неотрицательным. Также в письме говорилось о том, что, учитывая новое множество доступных комбинаций, общественная полезность Тригоноляндии теперь максимизируется не в точке A, а в точке B (к письму прилагался рисунок с указанием этой точки).
Король Филипп I проанализировал новое множество доступных комбинаций и сделал вывод, что если это множество описано верно, то рекомендация по переходу из точки A в точку B ошибочна.
Докажите правильность этого вывода.
Ответ
Обозначим для краткости .
Первоначальное множество доступных комбинаций инфляции и безработицы: точка () должна лежать между кривыми и , т.е. должно выполняться одно из неравенств:
Новое множество доступных комбинаций:
. Используя введенные обозначения, получаем
Неотрицательность произведения эквивалентна тому, что множители имеют одинаковые знаки:
Выходит, новое и старое множества доступных комбинаций полностью совпадают. Раз точка A максимизировала полезность на этом множестве, то никакая другая доступная точка не может давать полезность большую, чем точка А. Поэтому рекомендация по переходу из точки A в точку B ошибочна.
Даже если оптимальная точка не единственна, и точка B тоже является оптимальной (полезность в ней такая же, как в точке А), переход из A в B не увеличит полезность, но только потребует затрат на проведение соответствующей фискальной и монетарной политики, поэтому этот переход является ошибочным.