Пусть мы хотим произвести Q единиц. Нам нужно выбрать такие Q_1, Q_2 и Q_3, в сумме равные Q, чтобы минимизировать TC_1(Q_1) + TC_2(Q_2) + TC_3(Q_3), или, что то же самое, минимизировать

\frac{TC_1(Q_1) + TC_2(Q_2) + TC_3(Q_3)}{Q}.

Предположим, что в некоторой точке все объёмы положительны. Тогда

\frac{TC_1(Q_1) + TC_2(Q_2) + TC_3(Q_3)}{Q} = \frac{TC_1(Q_1)}{q_1} \cdot \frac{q_1}{Q} + \frac{TC_2(Q_2)}{q_2} \cdot \frac{q_2}{Q} + \frac{TC_3(Q_3)}{q_3} \cdot \frac{q_3}{Q} =

= AC_1(Q_1) \alpha_1 + AC_2(Q_2) \alpha_2 + AC_3(Q_3) \alpha_3

, т.е. общее AC – это среднее между индивидуальными AC. Отсюда следует, что общее AC не меньше, чем минимальное среди AC_i(Q_i).

Предположим теперь, что индивидуальные AC убывают (в нашем случае это как раз так: по рисунку видно, что тангенс угла наклона секущей к графику TC_i убывает при росте Q ). Тогда сделаем следующую махинацию: выберем завод, у которого AC_i(Q_i) минимально, и перебросим на него весь выпуск Q. Тогда, с одной стороны, его AC_i станет ещё меньше, а с другой стороны, общее AC теперь равно этому самому AC_i, т. к. это единственный завод, на котором мы производим. Таким образом, нам удалось снизить издержки, и, значит, наша первоначальная точка (где все объёмы положительны) не оптимальна.

Точно так же доказывается, что при убывающих AC_i неоптимальной будет любая точка, где хотя бы два завода производят положительный выпуск (тогда в вышеописанных формулах мы будем учитывать не все заводы, а только те, где положительный выпуск).

Итак, весь выпуск нужно производить на одном заводе. Поэтому TC(Q) = \min_i TC_i(Q_i), и график TC есть нижняя огибающая графиков TC_i.