Честный менеджер
Некоторому монополисту-лентяю лень тратить время на собственноручную продажу своего товара, поэтому он нанял талантливого менеджера Андрея Борея, которому и поручил продажу производимого им скотча. Более того, монополист так обленился, что даже ничего не знает о текущем спросе на свой товар. Со словами «Андрюша, продай, сколько сможешь, по цене 60 рублей за 10 метров липкой ленты» он оставил ему огромный рулон бесконечно делимого товара и уехал на недельку отдохнуть. Договор же между ними таков: Андрей продает, сколько сможет, отдает начальнику 90% выручки, а остальное оставляет себе. Но наш Андрей Борей не промах: он быстро оценил существующий спрос и подумал о том, как бы ему побольше положить в свой карман. Единственный вид жульничества, который пришел в голову честному менеджеру Борею, - это продавать товар по другой цене. Определите, может ли Андрей Борей как-то увеличить свой заработок, если функция спроса на скотч, которую вывел Андрей, имеет вид Q=120-P, где P – цена в рублях, а Q – количество скотча в 10-ах метров? Если нет, то обоснуйте свой вывод. Если да, то как много потеряет незадачливый монополист из-за своего лентяйства? Имейте в виду, что Борей должен отчитываться перед начальником за проданную изоленту и не может просто так бежать с деньгами, так что ему придется провернуть дело так, чтобы никто его ни в чем не заподозрил.
Прибыль Борея и монополиста без жульничества рассчитать очень легко: TR=60*(120-60)=3600, Борею идет 360, монополисту, соответственно, 3240.
Теперь остается понять, как же будет действовать Борей.
Он явно максимизирует свой личный доход, но делает это так, чтобы не попасться.
Пусть он будет продавать по цене X.
Тогда реально он продаст 120-X по цене X. Но что он из этого получит? Продав 120-X, он обязан будет отчитаться перед начальством, то есть объявить, что официальная выручка равна (120 - X) * 60 (так как обязан продавать товар по цене 60). Значит, получит он разницу между (120 - X) и (120 - X) * 60. Но ведь ему же еще причитаются проценты он официальной выручки! Значит, итоговая его функция прибыли имеет вид:
\pi = (120 - X) * X - (120 - X) * 60 + 0.1 * (120 - X) * 60 = (120 - X) * (X - 54)
Максимум этой функции лежит ровно между корнями, значит, оптимальная цена для него составит 87 рублей за 10 метров ленты.
Таким образом, он продаст всего 33 единицы продукции, и получит прибыль в размере 1089, вместо 360, которые имел бы без жульничества!
Ответ:
Да, Андрей может улучшить свое положение. Монополист потеряет 1458 рублей.
Примечание:
Модифицированная версия задачи была включена в региональную олимпиаду по экономике 2009-2010 учебного года.