Двое друзей: Се и Мо очень любят деньги и дипломы разных олимпиад. Поэтому они решают вложиться в свое образование с надеждой получить диплом Всероссийской Олимпиады школьников по экономике: диплом позволит им обучаться в Высшой Школе Ыкономики бесплатно.

Функция удовольствия Се от получения диплома:

U_{ds}=200\sqrt{(S)} -1.1S+1.1(100-S)

Функция Мо:

U_{dm}=150\sqrt{(S)} - 1.1S+1.1(100-S)

Где S - сумма денег, которую ученик потратил на образование.

Но кроме денег друзья очень ценят еще и поддержку друг друга: если Мо поддержит Се, тот получит удовольствие в размере U_{ps}=35. Если Се поддержит Мо: U_{pm}=40.

Оба друга на данный момент имеют 100 монгольских тугриков на счету в "НацЕдБанке", и могут вложиться в один из двух рискованных, но очень уж увлекательных образовательных проектов. 1 -й принесет диплом с вероятностью 0,9. 2 - й с вероятностью a (от 0 до 1 включительно). Во всех других возможных случаях они не получат заветные дипломы.

Друзья не могут делить деньги между двумя проектами (можно выбрать только один: между организаторами проектов давно идёт война), равно как и делиться деньгами. Но друзья могут делиться поддержкой друг с другом в том случае, если проект, в который вложился один из них, диплом не принес. (Если вложились в один и тот же, и оба сервиса прогорели, то делятся поддержкой оба друга с вероятностью 1 ; если оба получили дипломы, не делятся поддержкой с вероятностью 1 ). Первый проект стоит ровно 100 монгольских тугриков, второй 80.

К сожалению, друзья не всегда хотят поддержать друг друга: Се поддержит с вероятностью 0,8 ; МО поддержит с вероятностью 0,9.

Ставка НацЕдБанка 10\% по депозитам. Если деньги останутся на счету, по ним друзья получат полезность равную U_s=1,1*(100-S).

а) (2 балла) Объясните качественно, почему не всегда в реальной жизни друзья поддерживают друг друга в трудной ситуации, как в условии задачи: один взял диплом, другой нет. (Есть вероятность, что поддержку ты не получишь).

b) ( 7 баллов) Найдите оптимальное поведение друзей при любых a, если они максимизируют ожидаемое удовольствие.

Примечание: поддержка- единоразовый платеж от одного друга к другому. Оказывающий ее никаких издержек не несет. (Проще говоря: ты проиграл, тебя утешили, ты получил удовольствие 35 условных единиц)