1. Воспользуемся условием максимизации прибыли на рынке совершенной конкуренции.

Оптимальным является объём выпуска, при котором цена равна предельным издержкам фирмы (заметим, что это необходимое условие максимизации прибыли):

p=MC

Получаем уравнение:

3q^2-220q+4400=2000,

решая которое, получаем два уровня выпуска: q_1=60 ; q_2=\frac{40}{3}.

Прибыль, которую получает предприниматель, равна: PR=TR-TC=p*q-q*AC(q)

Максимальная прибыль достигается при q=60 и составляет 2000*60-60(60^2-110*60+4400)=36000.

При q=\frac{40}{3} прибыль отрицательна:

2000 \cdot \frac{40}{3} - \frac{40}{3} \cdot \left(\left(\frac{40}{3}\right)^2 - 110 \cdot \frac{40}{3} + 4400\right) = \left(-2400 + 110 \cdot \frac{40}{3}\right) \cdot \frac{40}{3} - \left(\frac{40}{3}\right)^3 < 0

2. Теперь предпринимателю запрещено провозить 60 тонн гравия. Максимально возможный объём гравия теперь составляет: 40-8=32 тонны.

Прибыль, которую получит предприниматель, составит при этих условиях: 2000*32-32*(32^2-110*32+4400)=3072.

3. При штрафе ниже, чем 36000-3072=32928, предпринимателю будет выгодно нарушать закон. Соответственно, предпринимателю все равно, нарушать закон или нет при штрафе, равном 32928 .

4. Для ответа на данный вопрос необходимо найти максимальное значение прибыли на единицу продукции, т.е. величины \pi=\frac{TR-TC}{q}.

Заметим, что \frac{TR - TC}{q} = \frac{p \cdot q - TC}{q} = p - AC(q). Максимум данной функции достигается тогда, когда достигается минимум функции AC(q).

График функции AC(q)=q^2-110q+4400 – парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, данная функция достигает минимума в вершине, т.е. при q=110/2=55. Значение функции в точке q=55 составляет AC(55)=55^2-110*55+4400=1375.

Таким образом, максимальное значение прибыли на единицу продукции равно 2000-1375=625.