Выгода от обмена ресурсами.1
В загадочной стране потребляют два товара x и y, для производства которых используются два ресурса \alpha и \beta. Страна разделена рекой на два региона, в которых разные запасы ресурсов и технологии производства. Так в первом регионе для производства одной единицы x надо потратить 2 единицы \alpha и 3 единицы \beta, а для производства y – 4 единицы \alpha и 2 единицы \beta, запасы \alpha и \beta в регионе составляют 120 и 90 единиц соответственно. Во втором регионе для производства одной единицы x надо потратить 3 единицы \alpha и 5 единиц \beta, а для производства y – 2 единицы \alpha и 2 единицы \beta, запасы \alpha и \beta в регионе составляют 90 и 120 единиц соответственно. Изначально обмен ресурсами между регионами невозможен, но произведенные x и y потребляются регионами вместе комплектами по 1/7 единице x и 1/7 единице y в каждом комплекте.
a) Найдите КПВ объединенной страны. Сколько комплектов будет потреблено в стране?
Строим раздельные КПВ и складываем их.
Для первого региона :
x_{\alpha} = \frac{\alpha}{2} ; \quad y_{\alpha} = \frac{\alpha}{4}
x_{\beta} = \frac{\beta}{3}; \quad y_{\beta} = \frac{\beta}{2}
\begin{cases} 2x + 4y \leq 120, \\ 3x + 2y \leq 90. \end{cases} \begin{cases} y \leq 30 - 0.5x, \\ y \leq 45 - 1.5x. \end{cases}
Для второго региона:
\begin{cases} 3x + 2y \leq 90, \\ 5x + 2y \leq 120. \end{cases} \begin{cases} y \leq 45 - 1.5x, \\ y \leq 60 - 2.5x. \end{cases}
Y = \begin{cases} 75 - \frac{x}{2}, & x < 15, \\ 105 - \frac{3}{2}x, & x \in [15; 45], \\ 135 - \frac{5}{2}x, & x > 45. \end{cases}
Суммарная КПВ имеет вид:
x^*=y^*=7k^* => 2,5x^*=90
x^*=36
k^*=7*36=252
Ответ: 252 комплекта
b) Через реку построили грузовой мост и теперь у регионов появилась возможность перевозить ресурсы между регионами. Найдите количество потребляемых в стране комплектов в новых условиях.
Теперь ограничения имеют вид:
\alpha: \, 2x + 2y \leq 210
\beta: \, 3x + 2y \leq 210, для каждого случая выбирает оптимальную технологию.
\beta строже => КПВ имеет вид: 2y = 210 - 3x \quad \Leftrightarrow \quad y = 105 - 1.5x.
Тогда в оптимуме: x^{*} = 105 - 1.5x^{*} т.е. 2.5x^{*} = 105 откуда x^* = 42
k^* = 7x^*= 42 \cdot 7 = 294.
Ответ : 294 комплекта.
c) Пусть к обмену ресурсами из пункта b) добавилась ещё возможность торговли с соседней страной с соотношением цен P_x/P_y=1/2, однако эта страна готова купить не больше 15 единиц товара y из-за импортной квоты, установленной её правительством. Найдите новое количество комплектов
\frac{P_x}{P_y} = \frac{1}{2}; AU_x = 1.5 < \frac{1}{2} \quad \Rightarrow в оптимуме производим: x^* = 0; \, y^* = y_{\text{max}} и продаём. Тогда КПВ имеет вид: y = 105 - 0.5x.
105 - 0.5x^* = x^* \quad \Rightarrow \quad x^* = 70. Значит k^* = 70 \cdot 7 = 490.
Ответ: 490 комплектов.