Пробки
Пусть из спального микрорайона в центр города проложены две дороги – Северная и Южная. Каждое утро по ним едет фиксированное число автомобилистов. При этом из-за возможных пробок время движения зависит от того, сколько людей выберет каждую из дорог. По Северной можно добраться за мин., по Южной – за мин., где и – доли едущих по ним автомобилистов. Предположим, что люди выбирают дорогу, исходя из единственного критерия – желания добраться побыстрее. На сколько минут сократится ожидаемое время в пути, если Северную дорогу расширить втрое? На сколько процентов при этом изменится число автомобилистов на Северной и Южной дорогах.
( баллов)
Ответ
Если люди минимизируют затраты времени, то в равновесии время движения по обеим дорогам должно быть одинаково. В противном случае найдутся те, кто захочет изменить свое поведение, сделав выбор в пользу более быстрой из дорог. В исходной ситуации это приводит к равенству . Поскольку суммарная доля едущих по Северной и Южной дорогам составляет (то есть ), условие примет вид . Отсюда можно найти доли и .
Если Северную дорогу расширить втрое, то втрое уменьшится дополнительное время передвижения, связанное с пробками. Например, если по расширенной втрое дороге поедет машин (по каждой полосе ), то это будет эквивалентно по времени ситуации с машин до расширения дороги. Таким образом, время передвижения по Северной дороге станет равным . В равновесии снова будет наблюдаться равенство: , откуда находим новые доли и .
Время передвижения можно найти, подставив равновесную долю в любую из частей уравнения. В исходной ситуации ожидаемое время составляет мин., в новой ситуации оно станет равным мин. Таким образом, расширение дороги привело к сокращению времени в пути на мин.
Доля автомобилистов, едущих по Северной дороге выросла с до процентов. Это означает увеличение в раза, то есть на . Доля автомобилистов, выбирающих Южную дорогу, напротив, упала с до процентов, изменение произошло в раза, то есть число автомобилистов стало меньше на . Отметим, что в условии спрашивается про проценты, а не процентные пункты, поэтому ответ выросла на и упала на является неправильным.
Ответ:
На Северной дороге число автомобилистов выросло на , на Южной дороге -- уменьшилось на .