Столярная мастерская
Два приятеля папа Карло и Джузеппе по прозвищу Сизый Нос в столярной мастерской производят стулья и деревянных кукол. Чтобы сделать 2 стула и 3 куклы папа Карло должен трудиться 14 часов, а Джузеппе этот же набор может изготовить за 21 час. Чтобы изготовить 3 стула и 2 куклы папе Карло придется поработать 11 часов, а Джузеппе справится с этой работой за 19 часов.
Карабасу-Барабасу для его нового театра требуется 95 новых стульев и 3 деревянные куклы.
1. Смогут ли приятели выполнить заказ Карабаса-Барабаса за 6 дней, учитывая, что более 10 часов в день никто из них работать не может, и производительность труда в течение дня у каждого постоянна?
2. За какое минимальное время Карло и Джузеппе смогут выполнить этот заказ?
Пусть папа Карло изготавливает один стул за t_{ch} часов, а одну куклу – за t_p часов; Джузеппе изготавливает один стул за \tau_{ch} часов, а одну куклу – за \tau_p часов.
Определим время, необходимое папе Карло для изготовления одной куклы и одного стула. Согласно условию:
\begin{cases} 2 \cdot t_{ch} + 3 \cdot t_{p} = 14 \\ 3 \cdot t_{ch} + 2 \cdot t_{p} = 11 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad 5 \cdot t_{ch} + 5 \cdot t_{p} = 25 \quad \Rightarrow \quad t_{ch} + t_{p} = 5
Тогда 2 \cdot t_{ch} + 3 \cdot t_{p} = 2 \cdot (t_{ch} + t_{p}) + t_{p} = 10 + t_{p} = 14 \quad \Rightarrow \quad t_{p} = 4, t_{ch} = 1 Рассуждая аналогично, определим сколько времени потребуется Джузеппе для изготовления одного стула и одной куклы:
\begin{cases} 2 \cdot \tau_{ch} + 3 \cdot \tau_{p} = 21 \\ 3 \cdot \tau_{ch} + 2 \cdot \tau_{p} = 19 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad 5 \cdot \tau_{ch} + 5 \cdot \tau_{p} = 40 \quad \Rightarrow \quad \tau_{ch} + \tau_{p} = 8
Тогда 2 \cdot \tau_{ch} + 3 \cdot \tau_{p} = 2 \cdot (\tau_{ch} + \tau_{p}) + \tau_{p} = 16 + \tau_{p} = 21 \quad \Rightarrow \quad \tau_{p} = 5, \tau_{ch} = 3
Очевидно, заказ выполнить приятели не смогут, так как даже если они будут изготавливать только стулья, за 6 дней ( 60 часов) они смогут сделать только 80 штук ( 60 сделает Карло и 20 – Джузеппе).
Альтернативная стоимость изготовления одной куклы папой Карло составляет 4 стула, а Джузеппе – 5/3 стула. Таким образом, изготавливать стулья будет Карло, а Джузеппе будет делать кукол. Для изготовления 3 кукол ему понадобится 15 часов. За это время Карло сделает 15 стульев, то есть останется сделать еще 80. За час вдвоем приятели делают 1\frac{1}{3} стула, то есть чтобы произвести оставшиеся 80 стульев, потребуется
80:1\frac{1}{3}=60 часов. Значит, на выполнение всего заказа потребуется 15+60=75 часов или 7,5 рабочих дней.