# Осторожно! Логарифмы!

Иван Петрович любит водку и пельмени. Каждый день его счастье можно посчитать по формуле u_t=ln(x_t-\alpha H_t)+y_t, где x - потребление водки в стопках, y - пельмени в килограммах, а H - похмелье в единицах печали ("Всему есть единицы измерения, за исключением печали и тоски (с)"), 0<\alpha<1 - параметр. Пельмени продаются по цене 1 за килограмм, водка - по цене p за стопку. Похмелье меняется во времени по следующему закону: H_t=x_{t-1}+(1-\delta)H_{t-1}, где \alpha < \delta < 1 - параметр. Иван Петрович -- человек простой и не задумывается о том, что лишняя стопка водки сегодня скажется на его похмелье завтра (и в более далеком будущем). Он принимает решения, максимизируя только текущую полезность.

1) Проинтерпретируйте закон изменения похмелья: почему разумно считать, что оно меняется так?

2) Проинтерпретируйте функцию полезности. Как предельная полезность водки зависит от похмелья? Как от похмелья зависит общая полезность?

3) Найдите выбор Ивана Петровича в течение дня в зависимости от его дохода, цены водки и похмелья (считая похмелье константой). Как полезность Ивана Петровича зависит от этих параметров?

4) Учитывая закон динамики похмелья, к какому уровню стремится потребление водки со временем? От чего он зависит?

5) Иван Петрович вступил в группу анонимных алкоголиков и теперь понимает, как потребление водки влияет на похмелье. Он даже посчитал, к какому уровню будет стремиться похмелье, если он будет выпивать по x стопок в день каждый день. Теперь прежде чем выпить очередную стопку, Иван Петрович подставляет это значение в свою функцию полезности вместо H. Как изменится его потребление водки? Как оно зависит от параметров?