Почему 1749?

Назовём проигрышными позиции, в которых как бы мы не сходили, мы проиграем. Тогда назовём выигрышными позициями те, из которых можно попасть в проигрышные. Также, отнесём позиции, из которых можно попасть только в выигрышные к проигрышным, ведь они тоже всегда проигрываются. Заметим, что по нашему определению одно число не может быть одновременно и проигрышным, и выигрышным.

Например, если перед ходом игрока на доске записано число , то он находится в проигрышной позиции, так как из него можно попасть только в числа и , а они больше . А вот число является выигрышным, так как из него можно попасть в проигрышную позицию , добавив . Также заметим, что все числа является либо проигрышными либо выигрышными (можем идти на убывание с числа , определяя характеристику каждой позиции).

Обратим внимание на число . Оно тоже является либо проигрышным, либо выигрышным, каким, мы пока что не знаем, однако Вася может как сам записать его, так и сыграть так, чтобы это число записал Митя!

Для того, чтобы число выписал на доску Митя, Васе первым ходом нужно увеличить ноль на и записать число . Далее Васе ничего не остаётся, как записать на доску число , так как .

Для того, чтобы Вася выписал на доску число , ему нужно сначала оставить , а затем Вася будет вынужден записать число на доску, так как по условию ни одну число не может появиться на доске более двух раз. Тогда следующим ходом Вася увеличит на и запишет на доску .

Таким образом, если является проигрышной позицией, то Вася запишет её сам, и тогда Митя проиграет, а если перед ходом на доске - это выигрышная позиция, то Вася сыграет так, чтобы её выписал Митя. Тогда при правильной игре Вася победит.