Задача 2 ОЧ-2018 8 класс
Как-то Винни-Пуху в очередной раз захотелось полакомиться медом неправильных пчел. Но справляться с пчелами в одиночку гораздо труднее, поэтому он обратился за помощью к Пятачку - единственному обладателю ружья в округе. На ближайшую неделю у Пятачка уже запланированы дела, однако он согласился помочь другу в следующее воскресенье. В случае совместного похода каждый из них получит половину от собранного общими усилиями меда.
Встретив в пятницу вечером изрядно покусанного, но довольного Кролика, Винни-Пух сообразил, что их поход за медом может оказаться гораздо труднее, чем казалось изначально. Поэтому он отправился к Пятачку и предложил тому заключить сделку: Винни-Пух заберет себе ровно 8 баночек из всего собранного ими меда (в том числе весь мед, если 8 баночек не наберется), а остальное достанется Пятачку. Взамен этого он прямо сейчас готов отдать Пятачку 3 баночки из собственной кладовой. Пятачку такой договор пришелся по душе, однако он добавил, что Винни-Пух всегда может отказаться от предложенного условия, доплатив ему еще две баночки.
(а) Изобразите графически чистый доход Винни-Пуха, выраженный в баночках меда, в зависимости от величины собранного угощения. Сколько баночек меда необходимо собрать, чтобы заключение сделки для Винни-Пуха было целесообразным?
Встретив в субботу вечером слегка поправившегося и по-прежнему довольного Кролика, Пятачок осознал, в какое неприятное положение поставила его заключенная сделка. Поэтому он отправился к Винни-Пуху и предложил добавить пункт, согласно которому доля Пятачка будет составлять 20\% от общего числа собранных баночек меда. Взамен этого он прямо сейчас готов отдать Винни-Пуху одну баночку из своих запасов. Винни-Пуху такой договор пришелся по душе, однако он добавил, что Пятачок всегда может отказаться от предложенного условия, доплатив ему еще одну баночку. В случае, если каждый захочет воспользоваться своим условием, первоочередным будет именно предложение Пятачка.
(б) Изобразите графически чистый доход Пятачка, выраженный в баночках меда, в зависимости от величины собранного угощения, исходя из того, что Винни-Пух будет действовать в строгом соответствии с решением предыдущего пункта. Сколько баночек меда необходимо собрать, чтобы заключение новой сделки для Пятачка было целесообразным?
(а) У Винни-Пуха имеется два варианта: либо действовать в соответствии со сделкой, либо ее нарушать.
В случае, если он действует в соответствии со сделкой, его чистый доход составляет 8-3=5 баночек меда, если их будет собрано больше 8, и Q-3 баночки в противном случае.
В случае, если он нарушает сделку, его чистый доход составляет 0,5Q-5 баночек меда.
Изобразим все три функции на графике. Решение задачи соответствует верхней огибающей.
Изломы графика в точках (8; 5) ) и (20; 5). Использовать опцию сделки имеет смысл, если собрано от 0 до 20 баночек меда.
(б) Рассмотрим варианты Пятачка:
Соблюдать сделку – тогда его чистый доход составит 3-1+0,2Q=2+0,2Q баночки.
Не соблюдать сделку – тогда его чистый доход составит 3-1+1+Q-8=Q-7 баночек для 8\leq Q\leq 20 (Винни-Пух пользуется своим правом) и 3-1-1+2+0,5Q=0,5Q+3 для Q\geq 20 (Винни-Пух не пользуется своим правом). При Q\leq 8 Пятачок не будет получать меда вообще, этот случай из рассмотрения убираем. Поскольку предложение Пятачка превалирует, решение Винни-Пуха кроме вышеупомянутого разделения нас ничем не интересует.
Изломы в точках (11,25; 4,25) и (20; 13). Использовать опцию сделки имеет смысл, если собрано от 0 до 11,25 баночек меда.